Citat:
petarm
onda opet mi moras reci na osnovu cega tvrdis da se u
nalazi
fja.
Razmotrimo
. Jedan niz u ovom skupu čine funkcije
(lako se proverava da su ove funkcije iz
). Ova funkcija ima maksimum u 0 i asimptotski teži pozitivnoj nuli i na levu i na desnu stranu. Kako n teži beskonačnosti tako vrednost funkcije u 0 teži beskonačnosti, a ponašanje kada n teži beskonačnosti možeš videti na grafiku koji je urađen za n=1, 10, 1000. Dakle, "vidi se" da ovo teži delta funkciji. To samo treba pokazati.
Uzmimo proizvoljnu funkciju
i uvedimo funkciju h(x) takvu da je g(x)=g(0)+h(x). Očigledno je da i
. Niz funkcija
definiše niz raspodela
preko integrala
Razdvojimo oblast integracije na dva dela i napišimo g u obliku koji smo dali gore. Imamo
Označimo integrale redom
Imamo da je
, gde je Erf(n) funkcija greške i ona ima osobinu da teži ka 1 kada joj argument teži beskonačnosti. Dakle u graničnom slučaju kada n teži beskonačnosti
.
Kako je g(x) ograničena (inače ne bi bila kvadratno integrabilna) tada je i h(x) ograničena i važi
gde je C neka konstanta. Tada za integral
važi
Vidimo da kada
integral
I konačno pošto je i g(x) ograničena važi
. Imamo da je
Vidimo da i
teži nuli kada n teži beskonačnosti.
Na kraju imamo da za niz raspodela važi
kada n teži beskonačnosti. Gornja relacija predstavlja definicionu relaciju delta funkcije. Dakle, videli smo da niz funkcija
teži delta funkciji. Raspodele čine
i upravo smo pokazali da taj prostor sadrži delta funkciju.
edit: štamparske greške
[Ovu poruku je menjao tomkeus dana 26.12.2007. u 13:35 GMT+1]