U klasičnom zasnivanju analize, nema infinitezimala. Realni brojevi su racionalni brojevi i brojevi "između racionalnih". E sad, realan broj je potpuno određen skupom racionalnih brojeva manjih od njega (odnosno, skupom svih racionalnih brojeva većih od njega). Drugim rečima, između ma koja dva realna broja imaš bar jedan racionalan broj. Zapravo, imaš ih beskonačno mnogo. Slikovito rečeno, u svaku "rupu" između racionalnih brojeva dolazi samo jedan realan. Takođe, ako skup svih racionalnih brojeva podeliš na dva neprazna podskupa A i B takva da je svaki racionalan broj iz skupa A manji od svakog racionalnog broja iz skupa B, onda tom izboru skupova A i B odgovara neki realan broj koji je veći od svih elemenata skupa A, i manji od svih elemenata skupa B. Slikovito rečeno, u svaku "rupu" između racionalnih brojeva staje po neki racionalan broj. Dakle, realni brojevi su racionalni i iracionalni brojevi, pri čemu se iracionalni mogu shvatiti kao "rupe" između racionalnih. Tu nema nikakvih infinitezimala.
Sa druge strane, kada ćemo reći da neki podskup skupa prirodnih brojeva obuhvata skoro sve prirodne brojeve? Po klasičnoj definiciji, to ćemo reći ako taj skup obuhvata sve prirodne brojeve izuzev, eventualno njih konačno mnogo. Neka F bude skup svih takvih podskupova skupa prirodnih brojeva. On ima sledeće osobine:
1. Ceo skup prirodnih brojeva pripada skupu F.
2. Prazan skup ne prihvata skupu F.
3. Presek dva skupa iz skupa F pripada skupu F.
4. Svaki podskup skupa prirodnih brojeva koji je nadskup bar jednog elementa skupa F, takođe je element skupa F.
Navedene osobine skupa F se izražavaju rečima "F je (pravi) filter nad skupom prirodnih brojeva". Fuilter F se još zove i Frešeov filter. U matematici se granični procesi opisuju preko filtera. Tako na primer, reći ćemo da niz a
n konvergira ka a ako za ma koju okolinu broja a skup svih prirodnih brojeva n takvih da broj a
n pripada toj okolini pripada Frešeovom filteru. Frešeov filter, dakle, opisuje granični proces "kad n teži beskonačnosti". On je ništa drugo do skup svih okolina beskonačnosti (u skupu prirodnih brojeva). Slično tome, i skup svih okolina broja a obrazuje jedan filter.
Frešeov filter ima osobinu da skup prirodnih brojeva možemo podeliti na dva podskupa od kojih nijedan ne pripada Frešeovom filteru. Jedna od takvih podela je podela skupa prirodnih brojeva na skup parnih i skup neparnih prirodnih brojeva. Drugim rečima, Frešeov filter nije ultrafilter. Zbog te osobine Frešeovog filtera postoje nizovi koji divergiraju. Neka je D proširenje Frešeovog filtera do filtera kome za ma koju podelu skupa prirodnih brojeva na dva podskupa pripada jedan od tih podskupova, to jest, neka je D proširenje Frešeovog filtera do ultrafiltera nad skupom prirodnih brojeva. U konvergenciji po ultrafilteru D (uzimajući ga umesto Frešeovog filtera) svaki niz realnih brojeva konvergira, makar i ka beskonačnosti (plus ili minus).
Nadalje ćemo upotrebljavati izraz "skoro svi prirodni brojeva" u kontekstu skupa D umesto Frešeovog filtera F. Primera radi, identifikovaćemo one nizove a
n i b
n za koje je a
n=b
n za skoro sve prirodne brojeve n, to jest, da skup svih prirodnih brojeva n za koje je a
n=b
n pripada skupu D.
Nizovi identifikovani na taj način obrazuju jednu novu strukturu koja se zove ultrastepen polja realnih brojeva. Da smo pošli od racionalnih brojeva (to jest, razmatrali samo nizove racionalnih brojeva) dobili bismo istu strukruru, to jest, ništa ne bismo izgubili. Drugim rečima, ultrastepen polja racionalnih brojeva se po strukturi ne razlikuje od ultrastepena polja realnih brojeva.
Taj ultrastepen će zadržati važne osobine polja realnih brojeva (biće tzv. realno zatvoreno polje). Zbog toga je važno da D bude ultrafilter. Dakle, moći ćemo u njemu da sabiramo oduzimamo, množimo, delimo, ali će se u njemu pojaviti i beskonačno male i beskonačno velike veličine.
"Obični" realni brojevi se u tom ultrastepenu predstavljaju konstantnim nizovima. Operacije se vrše pokoordinatno. Na primer, proizvod nizova a
n i b
n je niz a
n*b
n.
Niz 1/n će odgovarati jednoj infinitezimali (ima ih beskonačno mnogo) jer je veći od nule, to jest nula niza (budući da su mu čak svi elementi pozitivni), a manji od svakog konstantnog pozitivnog niza jer je 1/n manje od bilo koje "obične" realne konstante a počev od nekle pa na dalje, to jest, skup svih takvih prirodnih brojeva n pripada Frešeovom filteru, pa samim tim i filteru D, koji je konstruisan kao proširenje Frešeovog filtera.
Na taj način se dobija takozvana nestandardna analiza, o kojoj je napisano mnogo debelih knjiga i u kojoj se beskonačno male i beskonačno velike veličine uvode na način koji zadovoljava matematičke kriterijume strogosti. Otkrio ju je Abraham Robinson početkom sedamdesetih godina XX veka. Drugi način uvođenja matematički strogog uvođenja infinitezimala je glatka infinitezimalna analiza u kojoj je račun vrlo jednostavan (mada pretpostavlja poznavanje osnova intuicionističke logike), ali su joj modeli (kojima se dokazuje njena neprotivrečnost) vrlo komplikovani. Ne bih sada davio i o tome.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Kako zamisljate infinitezimalnost?
