Stavio si zvučan naslov, a zadatak je smešno lak, nije mi trebalo više od 20 min. da ga uradim, mada sam možda nešto prevideo jer rešenje stvarno izgleda prosto.
Kao što znamo, za trougao ABC važi da je 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC. U ovom zadatku to koristimo ovako: 2R1=AC/sinB, 2R2=CE/sinD, 2R3=AE/sinF.
Produžimo stranice AF i CD do preseka sa normalama na njih kroz tačke B i E. Tako dobijamo pravougaonik. Očigledno je AC >= stranica koja sadrži tačku B. Dužinu stranice kroz B možemo izraziti na sledeći način: ABsinA+BCsinC. Slično, stranica kroz E je jednaka: DEsinD+EFsinF. Kako su te dve stranice jednake, možemo pisati:
2AC>=ABsinA+BCsinC+DEsinD+EFsinF
Slično, konstruišemo pravougaonike produživanjem preostala dva para stranica, i dobijamo:
2CE>=CDsinC+DEsinE+ABsinB+AFsinF
2AE>=BCsinB+CDsinD+EFsinE+AFsinA
Deljenjem prve jednakosti sa sinB, druge sa sinD i treće sa sinF i sabiranjem dobijamo:
2AC/sinB + 2CE/sinD + 2AE/sinF >= AB(sinA/sinB+sinB/sinD) + BC(sinC/sinB+sinB/sinF) + CD(sinC/sinD+sinD/sinF) + DE(sinD/sinB+sinE/sinD) + EF(sinF/sinB+sinE/sinF) + AF(sinF/sinD+sinA/sinF)
Sada se podsetimo da su naspramne stranice paralelne, što bi značilo jednakost uglova: A=D, B=E, C=F. Posle ovoga postaje očigledno da svaki izraz u zagradi na desnoj strani jednakosti ima oblik k+1/k, a poznato je da je minimalna vrednost svakog izraza ovog oblika jednaka 2, kada je k=1. Znači, sve se svodi na:
4R1 + 4R2 + 4R3 = 2AC/sinB + 2CE/sinD + 2AE/sinF >=
onaj dugačak izraz >= 2(AB + BC + CD + DE + EF + AF) = 2P, što je i trebalo dokazati.
Smatram da je ovo korektno rešenje, iako mi i dalje izgleda previše jednostavno za zadatak sa Olimpijade.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.